72 का नियम: चक्रवृद्धि ब्याज के लिए एक झटपट दिमाग़ी तरकीब (और यह कहाँ काम नहीं करती)

72 को किसी सालाना ब्याज दर से भाग दें, जिसे दशमलव की बजाय पूरी संख्या के रूप में लिखा गया हो, और नतीजा इस बात का एक क़रीबी अंदाज़ा होता है कि उस दर पर बढ़ रहा कोई निवेश दोगुना होने में कितने साल लेगा। 6 प्रतिशत सालाना चक्रवृद्धि पर बढ़ रहा कोई निवेश लगभग 72 को 6 से भाग देने पर, यानी 12 साल में दोगुना होता है; 9 प्रतिशत पर, लगभग 8 साल में; 12 प्रतिशत पर, लगभग 6 साल में। इस नियम की असली ख़ासियत यह है कि यह एक ऐसी समस्या को, जिसे तकनीकी रूप से लॉगरिद्म चाहिए — यानी यह हल करना कि किसी चक्रवृद्धि होती मात्रा को अपनी शुरुआती वैल्यू से दोगुना होने में कितना समय लगता है — एक अकेले दिमाग़ी भाग में बदल देता है जो कोई भी इंसान बिना कैलकुलेटर के कर सकता है, और यह ठीक वही तरह की झटपट जाँच है जो किसी तनख़्वाह बढ़ोतरी, किसी लोन, या किसी निवेश रिटर्न पर बातचीत में उपयोगी होती है, इससे पहले कि कोई स्प्रेडशीट खोलने का वक़्त मिले।

चक्रवृद्धि वृद्धि के लिए दोगुना होने का सटीक समय एक लॉगरिद्मिक फ़ॉर्मूले से आता है, और 72 कोई मनमाना चुनाव नहीं है — यह उस असली स्थिरांक का जानबूझकर सुविधाजनक अंदाज़ा है जो वह फ़ॉर्मूला देता है, ख़ासतौर पर इसलिए चुना गया क्योंकि 72 असामान्य रूप से कई छोटी पूरी संख्याओं से बराबर बँट जाता है (2, 3, 4, 6, 8, 9, और 12 — ये सब इसे सफ़ाई से बाँट देते हैं), जिससे आम ब्याज दरों के लिए दिमाग़ी अंकगणित बिना किसी अजीब भिन्न के सफ़ाई से निकल आता है। दोगुना होने के सटीक समय के पीछे असली गणितीय स्थिरांक 69.3 के क़रीब है, और नियम के कुछ ज़्यादा सटीक रूप बेहद कम दरों पर थोड़ी बेहतर सटीकता के लिए 69 या 70 का इस्तेमाल भी करते हैं — लेकिन 72 में असली वैल्यू से नज़दीकी और असामान्य रूप से सुविधाजनक विभाज्यता का जो मेल है, ठीक इसी वजह से यह वह वर्ज़न बना जो स्टैंडर्ड दिमाग़ी-गणित शॉर्टकट के तौर पर टिका रहा, न कि कोई गणितीय रूप से ज़्यादा सटीक लेकिन व्यावहारिक रूप से कम आसानी से बँटने वाली संख्या।

72 का नियम उस ब्याज दर के दायरे में — लगभग 6 से 10 प्रतिशत सालाना — गणितीय रूप से सटीक दोगुना होने के समय के उल्लेखनीय रूप से क़रीब रहता है, जिसमें असल में ज़्यादातर वित्तीय स्थितियाँ आती हैं, और आमतौर पर सटीक लॉगरिद्मिक जवाब के कुछ ही प्रतिशत के अंदर पहुँचता है, जो उस तरह के झटपट दिमाग़ी अंदाज़े के लिए काफ़ी से ज़्यादा सटीक है जिसके लिए यह नियम बना है। यह अंदाज़ा दोनों छोर पर नाप कर बताई जा सकने लायक़ मात्रा में बिगड़ता है: बेहद कम, एक अंक वाली दरों पर, असली दोगुना होने का समय नियम के अंदाज़े से थोड़ा ज़्यादा लंबा होता है, और असामान्य रूप से ऊँची दरों पर — जैसी सट्टेबाज़ी वाले निवेश में, या उलटी दिशा में, ऊँचे-ब्याज वाले क़र्ज़ में देखने को मिलती हैं — यह नियम लगातार बढ़-चढ़कर बताता है कि दोगुना होने में असल में कितना समय लगता है, क्योंकि इसके पीछे का अंदाज़ा एक वास्तविक, संतुलित दायरे के लिए ट्यून किया गया था, न कि चरम वैल्यू के लिए। उस आरामदेह बीच के दायरे से बाहर किसी भी चीज़ के लिए, या किसी ऐसी गणना के लिए जो इतनी अहम हो कि एक सार्थक फ़र्क़ से चूक जाना वाक़ई मायने रखे, 72 का नियम ठीक और सिर्फ़ वही है जो वह ख़ुद को बताता है: एक तेज़ दिमाग़ी अंदाज़ा, सटीक आँकड़ा निकालने का विकल्प नहीं।

यही शॉर्टकट उतनी ही अच्छी तरह उलटा भी चलता है: 72 को सालों की किसी जानी-पहचानी संख्या से भाग देने पर वह अनुमानित ब्याज दर मिलती है जो किसी निवेश को उतने ही समय में दोगुना कर देगी, जो यह झटपट जाँचने का एक वाक़ई उपयोगी तरीक़ा है कि कोई बताया गया निवेश रिटर्न असल में उतना प्रभावशाली है जितना सुनने में लगता है, या कोई वित्तीय लक्ष्य के लिए बताई गई समय-सीमा कोई ऐसी विकास दर दिखाती है जो वास्तविक है। यही अंतर्निहित तर्क विकास की बजाय गिरावट बताने तक भी फैलता है — यानी यह अंदाज़ा लगाना कि किसी स्थिर प्रतिशत दर से सिकुड़ रही मात्रा को आधा होने में कितना समय लगता है, जो रेडियोऐक्टिव क्षय जैसे और महँगाई-समायोजित ख़रीद-शक्ति के समय के साथ असली क्षरण जैसे बिल्कुल अलग संदर्भों में सामने आता है, जहाँ वही भाग "यह अपनी आधी वैल्यू कब खोएगा" का जवाब देता है, न कि "यह कब दोगुना होगा" का।

72 का नियम जानबूझकर एक दिमाग़ी-गणित शॉर्टकट है, चक्रवृद्धि वृद्धि को सटीकता से निकालने का कोई विकल्प नहीं, और दोनों के बीच का फ़र्क़ ठीक वहीं सबसे ज़्यादा मायने रखता है जहाँ दांव सबसे ऊँचे होते हैं: कोई असली रिटायरमेंट प्रोजेक्शन, किसी लोन की तुलना, या लंबे समय तक असली पैसे से जुड़ा कोई भी फ़ैसला सटीक गणना का हक़दार है, जो असली चक्रवृद्धि आवृत्ति, रास्ते में जुड़ने वाले किसी नियमित योगदान, और गोल किए गए दिमाग़ी अंदाज़े की बजाय सटीक दर का हिसाब रखती है। इस नियम की असली क़ीमत एक तेज़ आंतरिक जाँच के रूप में है — क्या कोई प्रस्तावित 3 प्रतिशत सालाना रिटर्न एक नज़र में लगभग 24 साल की कहानी है या 10 साल की, बिना कैलकुलेटर उठाए — न कि उस संख्या के रूप में जो असल में किसी असली वित्तीय फ़ैसले के लिए इस्तेमाल की जाए।